Die Mathe-Baustelle
Der Quader
Rechts siehst du einige Quadernetze, die von Schülerinnen und Schülern der 5g gezeichnet wurden.
Wenn man einen Quader an den Kanten entlang aufschneidet und darauf achtet, dass zwei Flächen an einer Kante immer zusammen bleiben, bekommt man ein so genanntes Quadernetz.
Das Quadernetz besteht aus 6 Rechtecksflächen. Die gegenüber liegenden Flächen sind hier in gleicher Farbe ausgemalt. Sie sind deckungsgleich, das heißt z.B., dass die braunen Flächen genau übereinander passen.
Links siehst du das Kantemodell des Quaders. Du erkennst, dass je 4 Kanten immer die gleiche Länge haben. Die längste Kante nennen wir a, die mittlere b und die kürzeste nennen wir c. Wir könnten auch sagen a = Länge, b = Breite und
c = Höhe.
Berechnung der gesamten Kantenlänge k
Wie lange sind alle Kanten zusammen?
Wir könnten sie einfach alle zusammenzählen. Also:
k = a + a + a + a + b + b + b + b + c + c + c + c
Jede Kante kommt viermal vor. Wir könnten also auch so rechnen:
k = 4 · a + 4 · b + 4 · c
An vier Ecken treffen je drei unterschiedliche Kanten zusammen. Darum geht auch der Rechenweg:
k = 4 · (a + b + c)
Wie auch immer du rechnest; das Ergebnis ist immer gleich. Beispiel:
1. Rechenweg
k = 4 cm + 4 cm + 4 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm
k = 36 cm
2. Rechenweg
k = 4 · 4 cm + 4 · 3 cm + 4 · 2 cm
k = 16 cm + 12 cm + 8 cm
k = 36 cm
3. Rechenweg
k = 4 · (4 cm + 3 cm + 2 cm)
k = 4 · 9 cm
k = 36 cm
Berechnung des Oberflächeninhalts eines Quaders
Wie viele Quadratzentimeter haben alle Flächen einer Quaderoberläche zusammen?
Die Summe der Flächeninhalte aller Einzelflächen nennt man den Oberflächeninhalt, kurz O.
Am unteren Quadernetz sind alle Kanten bemaßt, das heißt mit Länge und Breite versehen. Jede Fläche bekommt einen Namen (A1, A2, A3). Jede Fläche kommt zweimal vor, also brauchen wir bloß drei Namen.
1. Rechenweg
A1 = 4 cm · 3 cm = 12 cm2
A2 = 4 cm · 2 cm = 8 cm2
A3 = 3 cm · 2 cm = 6 cm2
Jetzt rechnen wir jede Fläche doppelt
und addieren die Ergebnisse.
O = 2 · A1 + 2 · A2 + 2 · A3
O = 2 · 12 cm2 + 2 · 8 cm2 + 2 · 6 cm2
O = 24 cm2 + 16 cm2 + 12 cm2
O = 52 cm2
2. Rechenweg
A1 = 4 cm · 3 cm = 12 cm2
A2 = 4 cm · 2 cm = 8 cm2
A3 = 3 cm · 2 cm = 6 cm2
Wir addieren die drei verschiedenen Flächen und nehmen das Ergebnis doppelt.
O = 2 · (A1 + A2 + A3)
O = 2 · (12 cm2 + 8 cm2 + 6 cm2)
O = 2 · 26 cm2
O = 52 cm2
3. Rechenweg
O = 2 · (A1 + A2 + A3)
O = 2 · (a · b + a · c + b · c)
O = 2 · (4 cm · 3 cm + 4 cm · 2 cm + 3 cm · 2 cm)
O = 2 · (12 cm2 + 8 cm2 + 6 cm2)
O = 2 · 26 cm2
O = 52 cm2
Volumenberechnung am Quader
Das Volumen eines Körpers ist der Innenraum. Wir wollen wissen, wie viel in den Quader reinpasst. Dazu füllen wir den Körper mit Würfeln, die eine Kantenlänge von 1 cm haben.
Man nennt diese Würfel Qubickzentimenter-Würfel (hier grau dargestellt).
Das Volumen des Quaders ist das Produkt aus Länge, Breite und Höhe.
V = a · b · c
Die Grundfläche ist das Produkt aus Länge und Breite.
G = a · b
So gesehen ist der Rauminhalt das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe.
V = G · h oder auch V = G · c
Beachte immer beim Rechnen: Alle drei Maße müssen die gleiche Maßeinheit haben!